TAKTÁROV, N. G.
1 Números reales. Álgebra
1.1. Números reales
1.1.1. Propiedades de los números reales
1.1.2. Continuidad del conjunto de los números reales
1.1.3. Valor absoluto
1.1.4. Constantes utilizadas frecuentemente
1.1.5. Representación geométrica de números y conjuntos numéricos
1.1.6. Cotas de conjuntos numéricos
1.2. Nociones de álgebra elemental. Logaritmos. Progresión aritmética y progresión geométrica
1.2.1. Potencias y raíces
1.2.2. Fórmulas utilizadas frecuentemente
1.2.3. Valores medios
1.2.4. Algunas desigualdades notables
1.2.5. Algunas sumas finitas notables
1.2.6. Proporciones
1.2.7. División de polinomios
1.2.8. Ecuaciones algebraicas
1.2.9. Logaritmos
1.2.10. Progresión aritmética
1.2.11. Progresión geométrica
1.3. Matrices y determinantes. Sistemas de ecuaciones lineales
1.3.1. Matrices y determinantes
1.3.2. Operaciones con matrices
1.3.3. Rango de una matriz
1.3.4. Matrices con propiedades especiales
1.3.5. Sistema de ecuaciones lineales
2 Sistemas de coordenadas. Álgebra vectorial. Tensores. Espacios vectoriales
2.1. Sistemas de coordenadas rectangulares
2.1.1. Sistema de coordenadas rectangulares en el plano
2.1.2. Sistema de coordenadas rectangulares en el espacio
2.2. Sistemas de coordenadas curvilíneas
2.2.1. Coordenadas polares
2.2.2. Sistemas de coordenadas curvilíneas en el espacio
2.3. Álgebra vectorial
2.3.1. Conceptos fundamentales
2.3.2. Multiplicación de un vector por un número y adición de vectores
2.3.3. Producto escalar de vectores
2.3.4. Producto vectorial
2.3.5. Producto mixto
2.4. Cambio de coordenadas
2.4.1. Transporte paralelo de un sistema de coordenadas
2.4.2. Giro de un sistema de coordenadas
2.5. Tensores
2.5.1. Conceptos fundamentales
2.5.2. Álgebra tensorial
2.5.3. Propiedades de los tensores simétricos de segundo rango
2.6. Espacios vectoriales
2.6.1. Definición de espacio vectorial
2.6.2. Dependencia lineal de vectores
2.6.3. Base de un espacio. Coordenadas de un vector
2.6.4. Espacios vectoriales euclídeos
2.7. Espacio de Hilbert
2.8. Transformación de las coordenadas de un vector al cambiar de base
2.9. Aplicaciones lineales (operadores lineales)
2.10. Valores propios y vectores propios de una matriz
2.11. Formas cuadráticas
2.11.1. Reducción de una forma cuadrática a la forma canónica
2.11.2. Clasificación de las formas cuadráticas
2.11.3. Reducción simultánea de dos formas cuadráticas a sumas de cuadrados
3 Geometría analítica
3.1. Geometría analítica en el plano
3.1.1. Método de coordenadas
3.1.2. Fórmulas fundamentales
3.1.3. Transformación de coordenadas cartesianas
3.1.4. La recta
3.1.5. Posición relativa de dos rectas
3.1.6. Curvas de segundo orden (secciones cónicas)
3.2. Geometría analítica en el espacio
3.2.1. Ecuación de una superficie y ecuación de una línea
3.2.2. Fórmulas fundamentales en coordenadas cartesianas
3.2.3. El plano
3.2.4. La recta
3.2.5. Posición relativa de puntos, rectas y planos
3.2.6. Superficies de segundo orden
4Conceptos fundamentales del análisis matemático
4.1. Función real de una variable real
4.1.1. Definición de función
4.1.2. Métodos de definición de una función
4.1.3. Propiedades de las funciones. Funciones con propiedades especiales
4.2. Sucesiones numéricas
4.2.1. Límite de una sucesión numérica
4.2.2. Criterios de existencia del límite
4.2.3. Propiedades fundamentales de las sucesiones convergentes
4.2.4. El número e
4.2.5. Sucesiones infinitesimales y sucesiones infinitas
4.2.6. Indeterminaciones
4.2.7. Punto límite de una sucesión
4.3. Límite de una función
4.3.1. Definición de límite
4.3.2. Criterio de Cauchy de existencia del límite finito de una función
4.3.3. Límites unilaterales
4.3.4. Funciones infinitesimales y funciones infinitas
4.3.5. Operaciones aritméticas con límites
4.4. Relaciones asintóticas entre funciones
4.5. Continuidad de una función
4.6. Puntos de discontinuidad de una función. Clasificación de los puntos de discontinuidad
5 Cálculo diferencial de funciones de una variable
5.1. Derivada. Interpretación geométrica de la derivada
5.1.1. Definición de derivada
5.1.2. Interpretación geométrica de la derivada
5.1.3. Derivadas unilaterales de una función
5.1.4. Reglas de derivación
5.1.5. Derivadas de algunas funciones elementales
5.1.6. Derivada infinita
5.1.7. Derivación de funciones implícitas
5.2. Diferencial de una función
5.3. Derivada de la función inversa
5.4. Derivación de una función parametrizada
5.5. Derivadas y diferenciales de órdenes superiores
5.5.1. Derivadas de órdenes superiores
5.5.2. Fórmula de Leibniz
5.5.3. Diferenciales de órdenes superiores
5.5.4. Invariancia de la forma de la diferencial primera
5.6. Extremos. Teoremas de Fermat, Rolle, Lagrange y Cauchy
5.6.1. Extremo
5.6.2. Teorema de Fermat (condición necesaria de extremo local de una función derivable)
5.6.3. Teorema de Rolle
5.6.4. Teorema de Lagrange
5.6.5. Teorema de Cauchy
5.6.6. Corolarios del teorema de Lagrange
5.6.7. Derivada de una función par (impar)
5.7. Fórmula de Taylor. Cálculo de límites
5.8. Eliminación de indeterminaciones. Regla de L'H^opital
5.8.1. Eliminación de indeterminaciones del tipo 0/0
5.8.2. Eliminación de indeterminaciones del tipo oo/oo
5.8.3. Eliminación de indeterminaciones de los tipos 0 oo, oo--oo, 00, 1oo, oo0
5.9. Crecimiento y decrecimiento de una función. Convexidad y concavidad de una curva. Puntos de inflexión
5.9.1. Condición suficiente de crecimiento (decrecimiento) de una función
5.9.2. Convexidad y concavidad de una curva
5.9.3. Puntos de inflexión
5.10. Búsqueda de máximos y mínimos de una función
5.10.1. Condiciones necesarias de existencia de un extremo (máximo o mínimo) local de una función
5.10.2. Condiciones suficientes de existencia de un extremo local estricto
5.10.3. Búsqueda de extremos absolutos
5.11. Asíntotas del gráfico de una función
5.12. Construcción del gráfico de una función
6 Funciones elementales
6.1. Función exponencial
6.2. Función logarítmica
6.3. Funciones hiperbólicas
6.3.1. Seno hiperbólico
6.3.2. Coseno hiperbólico
6.3.3. Tangente hiperbólica
6.3.4. Cotangente hiperbólica
6.3.5. Funciones hiperbólicas inversas
6.3.6. Principales relaciones entre las funciones hiperbólicas
6.4. Función potencial
6.5. Funciones trigonométricas
6.5.1. Definición de las funciones trigonométricas
6.5.2. Propiedades de las funciones trigonométricas
6.5.3. Valores de las funciones trigonométricas para valores notables del argumento
6.5.4. Fórmulas de reducción
6.5.5. Relaciones entre funciones trigonométricas de un mismo argumento
6.5.6. Funciones trigonométricas del ángulo mitad y de ángulos múltiplos
6.5.7. Funciones trigonométricas de la suma y diferencia de dos argumentos
6.5.8. Suma, diferencia y producto de funciones trigonométricas
6.5.9. Potencias de funciones trigonométricas
6.5.10. Funciones trigonométricas inversas
6.5.11. Ecuaciones trigonométricas
7 Cálculo integral de funciones de una variable
7.1. Primitiva. Integral indefinida
7.1.1. Función primitiva
7.1.2. Integral indefinida
7.1.3. Propiedades de la integral indefinida
7.1.4. Tabla de integrales inmediatas
7.1.5. Métodos elementales de integración
7.1.6. Integración de funciones racionales
7.1.7. Integración de algunas expresiones irracionales
7.1.8. Integración de funciones trigonométricas, exponenciales e hiperbólicas
7.2. Integral definida
7.2.1. Propiedades y sentido geométrico de la integral definida
7.2.2. Integral definida con límite de integración superior (inferior) variable
7.2.3. Fórmula de Newton--Leibniz
7.2.4. Cambio de variables e integración por partes en la integral definida
7.3. Integrales impropias
7.3.1. Integrales impropias de primera especie
7.3.2. Integrales impropias de segunda especie
7.3.3. Reducción de las integrales impropias de segunda especie a integrales impropias de primera especie
7.3.4. Algunas integrales impropias
7.4. Aplicaciones geométricas de la integral definida
7.4.1. Cálculo del área de una figura plana
7.4.2. Cálculo de la longitud de una curva plana
7.4.3. Cálculo del volumen de un cuerpo
7.4.4. Cálculo del área de una superficie de revolución
8 Funciones de varias variables
8.1. Conceptos fundamentales. Límite de una función. Continuidad
8.1.1. Conceptos fundamentales
8.1.2. Límite de una función de varias variables
8.1.3. Funciones continuas de varias variables
8.2. Cálculo diferencial de funciones de varias variables
8.2.1. Derivadas parciales
8.2.2. Diferencial de una función
8.2.3. Diferenciación de una función compuesta
8.2.4. Diferenciación de una función implícita
8.2.5. Derivada direccional. Gradiente
8.2.6. Invariancia de la forma de la diferencial primera
8.2.7. Diferenciales de órdenes superiores
8.2.8. Fórmula de Taylor para las funciones de varias variables
8.2.9. Funciones implícitas
8.2.10. Aplicaciones. Dependencia de funciones
8.2.11. Cambio de variables en las expresiones diferenciales
8.2.12. Extremos de una función de varias variables
8.3. Integrales dobles y sus propiedades
8.3.1. Definición de integral doble
8.3.2. Aplicaciones geométricas de la integral doble
8.3.3. Propiedades de las integrales dobles
8.3.4. Cálculo de integrales dobles
8.3.5. Cambio de variables en las integrales dobles
8.4. Integrales triples y sus propiedades
8.4.1. Definición de integral triple
8.4.2. Integrales múltiples
8.4.3. Cálculo de integrales triples
8.4.4. Cambio de variables en las integrales triples
8.5. Integrales curvilíneas
8.5.1. Integrales curvilíneas de primera especie
8.5.2. Integrales curvilíneas de segunda especie
8.5.3. Relación entre las integrales curvilíneas de primera y segunda especies
8.6. Integrales de superficie
8.6.1. Superficies de una cara y superficies de dos caras
8.6.2. Área de una superficie
8.6.3. Integrales de superficie de primera especie
8.6.4. Existencia y cálculo de la integral de superficie de primera especie
8.6.5. Integrales de superficie de segunda especie
8.6.6. Existencia y cálculo de la integral de segunda especie
8.6.7. Relación de las integrales de superficie de primera y segunda especies
8.6.8. Aplicaciones geométricas de las integrales de superficie
8.7. Fórmula de Ostrogradski
8.7.1. Regiones simplemente conexas y regiones múltiplemente conexas
8.7.2. Fórmula de Ostrogradski
8.8. Fórmula de Stokes y fórmula de Green
8.8.1. Fórmula de Stokes
8.8.2. Fórmula de Green
8.9. Independencia de la integral curvilínea respecto al camino de integración
8.9.1. Caso de un camino de integración del plano
8.9.2. Caso de un camino de integración del espacio
8.10. Integrales dependientes de un parámetro
8.10.1. Integrales propias dependientes de un parámetro
8.10.2. Integrales impropias dependientes de un parámetro
8.10.3. Aplicación de las integrales impropias dependientes de un parámetro en el cálculo de integrales impropias
8.11. Integrales impropias múltiples
8.11.1. Integrales dobles impropias de funciones no acotadas
8.11.2. Integrales triples impropias de funciones no acotadas
8.11.3. Integrales dobles impropias por una región no acotada
8.12. Integrales múltiples dependientes de parámetros
8.12.1. Integrales múltiples propias dependientes de parámetros
8.12.2. Integrales múltiples impropias dependientes de parámetros
8.12.3. Potencial newtoniano
9 Series
9.1. Series numéricas y sus propiedades
9.1.1. Conceptos generales
9.1.2. Propiedades de las series convergentes
9.2. Criterios de convergencia de las series de signo constante
9.2.1. Criterios de comparación de series no negativas
9.2.2. Criterio de D'Alembert y criterio de Cauchy
9.3. Series de términos positivos y negativos. Convergencia condicional y convergencia absoluta
9.3.1. Criterio de Leibniz de convergencia de series alternadas
9.3.2. Series absolutamente convergentes y condicionalmente convergentes
9.4. Productos infinitos
9.5. Series y sucesiones funcionales
9.5.1. Sucesiones funcionales
9.5.2. Series funcionales
9.6. Series de potencias
9.6.1. Conceptos generales
9.6.2. Propiedades de las series de potencias
9.7. Serie de Taylor. Desarrollo de funciones en series de potencias
9.7.1. Serie de Taylor
9.7.2. Desarrollo de algunas funciones elementalesen series de potencias
9.8. Series e integrales de Fourier
9.8.1. Series de Fourier
9.8.2. Integral de Fourier
10 Funciones de variable compleja
10.1. Números complejos
10.1.1. Definición de números complejos. Operaciones con números complejos
10.1.2. Representación geométrica de los números complejos. Módulo y argumento de un número complejo
10.1.3. Potencia de un número complejo. Extracción de la raíz de un número complejo
10.1.4. Conjuntos de puntos del plano complejo
10.1.5. Límite de una sucesión de puntos del plano complejo
10.2. Funciones de variable compleja
10.2.1. Concepto de función
10.2.2. Límite de una función. Continuidad
10.3. Funciones analíticas
10.3.1. Derivada de una función. Condiciones de Cauchy--Riemann
10.3.2. Funciones analíticas
10.4. Integración de funciones de variable compleja
10.4.1. Definición de integral y sus propiedades
10.4.2. Teoremas y fórmulas integrales
10.5. Representación de las funciones analíticas en serie
10.5.1. Series funcionales. Series de potencias
10.5.2. Serie de Taylor
10.5.3. Serie de Laurent
10.5.4. Puntos singulares
10.5.5. Ceros y puntos singulares en el infinito
10.6. Residuos. Integrales de contorno
10.6.1. Conceptos fundamentales
10.6.2. Aplicación de los residuos en el cálculo de integrales definidas
10.7. Prolongación analítica
10.7.1. Concepto de prolongación analítica
10.7.2. Prolongación analítica con ayuda de series de potencias
10.7.3. Funciones analíticas multiformes
10.7.4. Prolongación analítica de una función analítica real
10.8. Superficies de Riemann. Puntos de ramificación
10.8.1. Conceptos generales
10.8.2. Condición de uniformidad de una función
10.8.3. Superficies de Riemann. Puntos de ramificación
10.8.4. Puntos de ramificación logarítmicos
10.8.5. Notas de conclusión
10.9. Transformación conforme
10.9.1. Concepto de transformación conforme. Propiedades
10.9.2. Ejemplos de transformaciones conformes
10.10. Algunas funciones elementales
10.10.1. Función potencial general
10.10.2. Funciones trigonométricas e hiperbólicas
10.10.3. Función exponencial y función logarítmica
11 Ecuaciones diferenciales
11.1. Ecuaciones diferenciales ordinarias
11.1.1. Conceptos fundamentales. Condiciones suficientes de existencia y unicidad de la solución
11.1.2. Ecuaciones diferenciales de primer orden
11.1.3. Ecuaciones diferenciales de órdenes superiores
11.1.4. Ecuaciones diferenciales lineales de orden n
11.1.5. Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales
11.1.6. Teoría de la estabilidad
11.1.7. Método operacional de resolución de ecuaciones diferenciales
11.2. Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
11.2.1. Conceptos y definiciones fundamentales
11.2.2. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
11.2.3. Ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden
11.2.4. Métodos de resolución de las ecuaciones de tipo hiperbólico
11.2.5. Ecuaciones de tipo elíptico
11.2.6. Resolución de ecuaciones de tipo parabólico
12 Cálculo variacional
12.1. Introducción
12.2. Extremo de un funcional de una función de una variable independiente
12.3. Condición necesaria de extremo de un funcional. Ecuación de Euler--Lagrange
12.4. Condiciones suficientes de extremo débil
12.5. Problema con extremos fijos
12.6. Funcionales de varias funciones de una variable independiente
12.7. Funcionales dependientes de las derivadas de órdenes superiores
12.8. Funcionales de funciones de varias variables independientes
12.9. Extremos condicionales. Método de los multiplicadores de Lagrange
12.10. Problemas isoperimétricos
12.11. Métodos directos de resolución de problemas variacionales
13 Análisis vectorial
13.1. Funciones vectoriales de un argumento escalar
13.1.1. Función vectorial y su límite
13.1.2. Derivada
13.2. Campos escalares y vectoriales
13.2.1. Campo escalar
13.2.2. Campo vectorial
13.3. Derivada direccional de un campo escalar. Gradiente
13.4. Integrales curvilíneas. Campo potencial
13.4.1. Integrales curvilíneas
13.4.2. Campo potencial
13.5. Integrales de superficie y de volumen
13.5.1. Integrales de superficie
13.5.2. Integrales de volumen
13.6. Divergencia y rotacional de un campo vectorial. Derivada direccional
13.6.1. Divergencia
13.6.2. Rotacional
13.6.3. Derivada direccional
13.7. Fórmulas fundamentales del análisis vectorial
13.8. Fórmulas integrales
13.8.1. Fórmula de Ostrogradski
13.8.2. Corolarios de la fórmula de Ostrogradski
13.8.3. Fórmula de Stokes
13.9. Búsqueda del campo vectorial si se conocen el rotacional y el gradiente
13.10. Coordenadas cilíndricas y esféricas
13.11. Algunos conceptos del análisis tensorial
14 Geometría diferencial
14.1. Curvas en el plano
14.1.1. Métodos de definición de una curva en el plano. Longitud del arco de una curva
14.1.2. Tangente y normal a una curva plana
14.1.3. Puntos singulares de una curva
14.1.4. Asíntotas
14.1.5. Curvatura de una curva plana
14.1.6. Contacto de curvas planas
14.1.7. Curva discriminante y envolvente de una familia de curvas
14.1.8. Evoluta y evolvente
14.1.9. Trayectorias isogonales
14.2. Curvas en el espacio
14.2.1. Métodos de definición de una curva en el espacio. Longitud del arco de una curva
14.2.2. Elementos fundamentales de una curva espacial
14.2.3. Fórmulas de Frenet
14.3. Superficies
14.3.1. Conceptos generales
14.3.2. Plano tangente y plano normal de una superficie
14.3.3. Primera forma cuadrática de una superficie. Elemento de longitud de arco y elemento de área
14.3.4. Segunda forma cuadrática de una superficie. Curvatura de una curva en una superficie
14.3.5. Curvaturas principales. Curvatura de Gauss. Curvatura media de una superficie
14.3.6. Clasificación de los puntos de una superficie
14.3.7. Curvas y direcciones especiales en una superficie
14.3.8. Relación entre la curvatura media y la variación del área de una superficie
14.3.9. Algunos tipos de superficies especiales
14.4. Fórmulas de Gauss, Weingarten y Gauss--Bonnet
15 Teoría de probabilidades y estadística matemática
15.1. Teoría de probabilidades
15.1.1. Experimentos y sucesos
15.1.2. Definición clásica de probabilidad
15.1.3. Definición estadística de probabilidad
15.1.4. Definición geométrica de probabilidad
15.1.5. Álgebra de sucesos
15.1.6. Reglas de la suma y el producto de probabilidades
15.1.7. Fórmula de probabilidad total. Fórmula de Bayes
15.1.8. Repetición de experimentos
15.1.9. Variables aleatorias. Variables aleatorias discretas
15.1.10. Variables aleatorias continuas
15.1.11. Valor esperado y varianza de una variable aleatoria discreta
15.1.12. Valor esperado y varianza de una variable aleatoria continua
15.1.13. Variables aleatorias multidimensionales
15.1.14. Ley de los grandes números
15.2. Estadística matemática
15.2.1. Método de muestreo
15.2.2. Polígono e histograma
15.2.3. Distribución muestral (empírica)
15.2.4. Estimadores puntuales de los parámetros de un conjunto estadístico
15.2.5. Estimación por intervalos para los parámetros de un conjunto estadístico
15.2.6. Estimación de la probabilidad buscada según la frecuencia relativa
15.2.7. Análisis de la correlación y la regresión según los resultados de las muestras
15.2.8. Pruebas estadísticas de hipótesis
15.2.9. Tablas
16Métodos numéricos
16.1. Números aproximados y operaciones con ellos
16.2. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales
16.2.1. Método de Gauss
16.2.2. Método de Gauss--Jordan
16.3. Resolución de ecuaciones no lineales
16.3.1. Método gráfico de resolución de ecuaciones
16.3.2. Método de bisección
16.3.3. Método de las cuerdas
16.3.4. Método de las tangentes (método de Newton)
16.3.5. Método combinado de las cuerdas y las tangentes
16.3.6. Método de iteración simple (método de aproximaciones sucesivas)
16.4. Cálculo de valores de funciones
16.4.1. Fórmulas aproximadas
16.4.2. Cálculo de los valores de un polinomio según el algoritmo de Horner
16.4.3. Cálculo de los valores de una función analítica
16.5. Interpolación de funciones
16.5.1. Planteamiento del problema de interpolación
16.5.2. Polinomio interpolante de Lagrange
16.5.3. Interpolación lineal
16.5.4. Polinomio interpolante de Lagrange con nodos equiespaciados
16.5.5. Polinomios interpolantes de Newton
16.5.6. Derivación numérica
16.6. Aproximación de funciones
16.6.1. Planteamiento del problema de aproximación de funciones
16.6.2. Aproximación uniforme de funciones
16.6.3. Método de los mínimos cuadrados
16.6.4. Splines
16.7. Cálculo aproximado de integrales
16.7.1. Cálculo de integrales mediante series
16.7.2. Fórmulas de integración numérica
16.7.3. Método de Monte Carlo
16.8. Resolución numérica de ecuaciones diferenciales
16.8.1. Método de Euler
16.8.2. Método de Runge--Kutta
16.8.3. Método de Adams
16.8.4. Problemas de contorno para ecuaciones diferenciales ordinarias
17 Conceptos fundamentales de la lógica matemática y la teoría de conjuntos
17.1. Álgebra de la lógica (álgebra de proposiciones)
17.1.1. Conceptos fundamentales
17.1.2. Operaciones lógicas
17.1.3. Fórmulas y funciones del álgebra de proposiciones
17.1.4. Lógica de predicados
17.1.5. Método de inducción completa
17.2. Fundamentos de la teoría de conjuntos
17.2.1. Conceptos fundamentales
17.2.2. Operaciones con conjuntos
17.2.3. Potencia de un conjunto
17.2.4. Aplicaciones de conjuntos
Índice de autores
Índice de materias
Notaciones fundamentales
